aprendiendo juntos

SISTEMAS DE ECUACIONES

2° Grado “A” 17 Mayo 2013

Se llama sistema de ecuaciones todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes.

Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones.

Características de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Los resultados característicos de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables son:

Existe Unicamente una solucion.

Existe una cantidad infinita de soluciones.

No existe solucion.

Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solución. Un sistema con un número infinito de soluciones es dependiente y consistente. Un sistema esinconsistente si carece de solución.

Para resolver un sistema de N ecuaciones con N incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:

Sustitución 
Igualación 
Reducción

Método de sustitución

Sea el sistema

Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. despejemos la y en la primera ecuación suponiendo como conocido el valor de x

y  =  11 - 3x

Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado, es decir donde se encuentre una "y" colocaremos "(11 – 3x)".

5x - (11-3x)  =  13

Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita; la cual resolvemos normalmente

5x – 11 + 3y  =  13
5x + 3x  =  13 + 11
8x  =  24
x  =  3 

Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de "y" que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema

y  =  11 - 3x
y  =  11 - 9
y  =  2

Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será x=3 e y=2

Método de igualación

Sea el sistema  

Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita

Igualamos ambas ecuaciones

11 - 3x  =  -13 + 5x
8x  =  24
x  =  3

Este valor de x lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de y

y  =  11 - 9
y  =  2

Método de reducción

Sea el sistema

Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema, la intención es eliminar una variable por lo que si no se puede eliminar ninguna así nomás se multiplicaran las ecuaciones por números que igualen alguno de los términos, para que se elimine uno:

Para este ejemplo eliminamos "y"

y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos

y = 2

Este método sirve para cualquier cantidad de ecuaciones con la única condición que el numero de variables desconocidas no sea mayor a la cantidad de ecuaciones.

Ahora resuelve los siguientes ejercicios por el método indicado:

 1.Método de Sustitución

X+ y= 1

x− y= 5

2x+  y= −7

4x− 2y= −10

    4x− 3y= 3

    2x+ 6y= −1

2.Método de Igualación

En este método se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se

igualan las expresiones. Estos son los pasos:

Ejemplo:

1º) Empecemos con un ejemplo muy sencillo.

MÉTODO DE IGUALACIÓN

1º) Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2º) Se igualan las expresiones. Resultando así, una ecuación

con una sola incógnita.

3º) Se resuelve esta ecuación.

4º) El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos

expresiones del paso 1º.

5º) Se comprueba la solución en el sistema inicial para

asegurarnos de que el resultado es correcto

x  + 2y = 8

x  +  y  = 3

2x  + 3y = 6

−3x −2y = 1

5x +  2y = 0

10x− 2y = 3

3.Método de Reducción

En este método se preparan las dos ecuaciones para que una de las incógnitas

tenga el mismo coeficiente en ambas pero con distinto signo. Al sumar las

ecuaciones nos queda una ecuación con una sola incógnita.

Ejemplos:

Veamos varios ejemplos:

1º) Como siempre, el primer ejemplo es muy fácil. En este caso no hay que

preparar las ecuaciones.

MÉTODO DE REDUCCIÓN

1º) Se preparan convenientemente las dos ecuaciones

( multiplicándolas por los números que convenga).

2º) Se suman las dos ecuaciones desapareciendo así una

incógnita.

3º) Se resuelve la ecuación que resulta.

4º) El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones

iniciales y se resuelve.

5º) Se comprueba la solución en el sistema inicial para

asegurarnos de que el resultado es correcto

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Resuelve por sustitución:

a)   x − 2y = 5                        b)  3x−2y=9

      3x−2y = 19                              2x− y=5

                           

                                       c)          5x−4y=0

                                                10x+2y=5   

Resuelve por igualación:

2x + y= 2                             x− 2y = 13

 3x + y= 5                             X+ 5y = −8

                                           6x − 4y = 3

                                           3x + 8y = 4

             Resuelve por reducción:

5x + 2y = 4                                                           

3x − 2y = 12

−2x + y = − 15

  3x − 2y = 26